[세특 주제] 감염병 확산을 수학으로 예측? SIR 모델로 분석해보자!

🧪 고등학생 세특 주제

수학적 감염병 확산 모델 시뮬레이션 (SIR 모델 중심)

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1. 🔍 주제 선정 이유

감염병 확산은 단순한 통계가 아니라 수학 모델로도 설명할 수 있습니다.
특히 **SIR 모델(Susceptible, Infected, Recovered)**은 실제 코로나19 시기 많은 분석에 활용되었으며,
감염자 수의 증가와 감소를 수학적으로 예측하는 데 유용합니다.
수학적 사고력과 사회적 응용력이 동시에 요구되는 주제로 선정하였습니다.

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2. 📘 핵심 개념 정리

용어.                 설명

SIR 모델	감염병 확산을 세 가지 군으로 나누는 수학 모델: S(감염 가능자), I(감염자), R(회복자)
모델 식

• dS/dt = -βSI
• dI/dt = βSI - γI
• dR/dt = γI
  | β (감염률) | 한 명의 감염자가 하루에 몇 명을 감염시키는지 |
  | γ (회복률) | 감염자가 하루에 회복될 확률 |
  | 기본재생산수 R₀ | R₀ = β / γ (한 감염자가 감염시키는 평균 인원 수)

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3. 🧪 탐구 활동 구성

🔹 활동 1. 기본 SIR 모델 수식 정리 및 가정 설정

• 전체 인구 1000명, 감염자 1명, 나머지 감수성 인구
• 감염률 β = 0.3, 회복률 γ = 0.1
• R₀ = 3 → 감염 확산 조건
• 초기 수치로 시뮬레이션 시작

🔹 활동 2. 엑셀 시뮬레이션 (일별 감염자 수 계산)

• S, I, R 수치를 1일 단위로 반복 계산
• 엑셀 반복수식:

mathematica Sₜ₊₁ = Sₜ - βSₜIₜ   Iₜ₊₁ = Iₜ + βSₜIₜ - γIₜ   Rₜ₊₁ = Rₜ + γIₜ

  30일간 수치 변화 시뮬레이션 그래프화

🔹 활동 3. 감염률과 회복률을 조정해 비교 실험

• 시나리오 A: β=0.3, γ=0.1 (기준)
• 시나리오 B: β=0.2, γ=0.1 (확산 느림)
• 시나리오 C: β=0.4, γ=0.2 (빠른 전파와 회복)
• 피크 감염자 수와 기간 비교

🔹 활동 4. 도서 및 뉴스 자료 연계

• 『팬데믹: 우리가 알아야 할 감염병 이야기』
• 코로나19 확산 곡선과 비교해 실제 정책(격리, 마스크 등)이 어떤 수학적 의미가 있었는지 발표

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📊 비교 포인트 정리

항목. 분석 포인트

감염률 변화	R₀ 값이 클수록 빠르게 전파됨
회복률 변화	감염자 수 피크가 빨리 오고 감소도 빠름
격리 정책 효과	β를 줄이는 방식으로 수학적 해석 가능

 

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🧪 확장형 탐구 활동 구성: SIR 모델 탐구

 

🔹 활동 1. SIR 수식 완전 이해 + 모형 만들기

세부 활동,설명,실습 도구

① 변수 설명 도식화	S, I, R의 의미 + 이동 구조를 화살표 도식으로 표현	활동지 or PowerPoint
② 기본 수식 이해	세 개의 미분 방정식을 간단한 차분식(Δ)으로 변환하여 손계산 실습	종이 계산 or 엑셀
③ 기본 가정 설정	인구수 1000명, I₀ = 1, R₀ = 0, S₀ = 999 / β = 0.3, γ = 0.1	설정표 작성
✅ 탐구 기록	수식, 가정 조건, 변수 설명을 보고서에 요약 정리	탐구노트

 

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🔹 활동 2. 엑셀 시뮬레이션 (30일 기준)

세부 활동,설명,실습 도구

① 표 작성	일별 S, I, R 값을 반복 계산하여 엑셀 표 완성	엑셀 또는 구글시트
② 그래프 작성	X축: 날짜, Y축: 인원수, 선그래프 3개(S, I, R) 겹쳐 표현	시각화
③ 주요 포인트 표시	최대 감염자 수, 감염 피크 도달 시점, 감염 종식 시점 체크	그래프 주석 추가
✅ 실험결과 정리	“몇 일째에 감염자가 가장 많았는가?”, “언제 감염이 줄기 시작했는가?” 등 분석	고찰 문장 작성

 

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🔹 활동 3. 감염률/회복률 변경 실험 3종

시나리오,조건,비교 포인트

A (기준)	β = 0.3, γ = 0.1	확산 O, 회복 느림, 감염자 많음
B (방역 강화)	β = 0.1, γ = 0.1	확산 속도 느림, 감염자 적음
C (백신 도입)	β = 0.3, γ = 0.3	감염자 빨리 회복, 감염 폭 짧음
✅ 비교	시나리오별 그래프 겹치기, 피크값/소멸기간 비교표 작성	그래프 3종 겹침 or 색분리

 

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🔹 활동 4. 실생활과 연결 + 도서 발표

연계, 활동내용,참고 자료

📘 도서 읽기	『팬데믹: 감염병의 시대를 살아가는 법』 or 『이것은 수학이 아니다』	감염병과 수학적 모델링 설명
📊 뉴스 자료 분석	질병청 일일 확진자 그래프 vs 내가 만든 SIR 모델 비교	실제 데이터와 시뮬레이션 비교
💬 정책 제안	“감염률을 낮추려면 무엇을 해야 할까?” → 마스크, 거리두기 등 연결	탐구 후 발표용 주제
✅ 발표 구성	"수학으로 본 감염병 확산과 멈춤의 조건" 발표 슬라이드 만들기	PPT 제공 가능

 

 

📘 워크북 다운로드: SIR_모델_감염병_워크북.docx

SIR_모델_감염병_워크북.docx

0.04MB

 

📄 탐구보고서 다운로드: SIR_모델_감염병_탐구보고서.docx

SIR_모델_감염병_탐구보고서.docx

0.04MB

📊 그래프 이미지 다운로드:
SIR_model_simulation_graph.png

SIR_model_simulation_graph.png

0.08MB

이 그래프는 감염병 확산이 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 시각적으로 보여줍니다.
✔ 감염자 피크 시점
✔ 회복자 증가
✔ 감수성 인구 감소 흐름을 한눈에 확인할 수 있어요.

 

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💬 확장 가능한 추가 아이디어

• 🧠 SEIR 모델로 확장: 잠복기(E) 포함 모델 도입 가능
• 🧮 지오지브라/코딩 시뮬: 지오지브라나 Python으로 SIR 애니메이션 만들기
• 💉 백신 접종률 변수 추가: V(t) = 백신 접종 인구수 → 감수성 인구 감소 모델로 변형

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✏️ 활동지에 포함할 수 있는 실습 문항 예시

• Q1. R₀ = 2일 때, 확산은 멈출 수 있을까?
• Q2. 감염자 수가 가장 많은 시점은 언제이며, 어떤 조건이 영향을 미쳤나?
• Q3. 회복률이 높아지면 전체 감염자 수는 줄어들까?